Решение геометрической и классической задачи на экстремум.

Тема работы:

Решение геометрической и классической задачи на экстремум.

Номер работы:

698458

Раздел:

Решенные задачи   →   Математика (ВСЕ направления)

Год сдачи:

22.06.2021

Количество страниц:

6 стр.

Содержание:

Задачи

Выдержка из работы:

Задача № 1
1. Постановка задачи, чертеж.
Найти длину h0 и радиус r0 цистерны объема V = 30 м3, имеющей форму закрытого кругового цилиндра со сферическим крышками радиуса 2r0, при которых площадь его поверхности S минимальна (в этом случае на его изготовление пойдет наименьшее количество ма-териала).
Сделаем чертёж

Вводим необходимые переменные.
r-радиус цилиндра,h_1- высота цилиндра,? h?_2- высота сферической крышки
h=h_1+2h_2-высота цистерны
Находим выражение функции, которую нужно минимизировать.
S_1=2?rh_1- площадь цилиндра
Воспользуемся формулой для площади сферического сегмента.
Площадь сферического сегмента (одной крышки) радиусом 2r равна: S=2?(2r)h_2
Следовательно, площадь двух крышек равна: S_2=2S=4?2rh_2
Площадь поверхности цистерны равна:
S=2?rh_1+4?2rh_2=2?r(h_1+8h_2) (1)
Эта функция, которую необходимо минимизировать
Находим выражения дополнительного условия.
V_1=??r?^2 h_1 –объём цилиндра;


……………………
Задача № 2

1. Постановка задачи.
Аэронавтическая задача Цермело. При наличии ветра (зависящего от точки, но не зависящего от времени) по какой траектории должен лететь самолет, чтобы из одной точки пространства прилететь в другую за кратчайшее время.
Пусть A и B – заданные на плоскости (x, y) точки начала и конца полета (рис.).

Находим выражение функционала, который нужно минимизировать.

Предположим, что скорость ветра w – заданная функция, и пусть y(x) – искомая траектория полета самолета, который движется с постоянной скоростью u относительно воздуха. тогда скорость самолёта относительно земли v. Запишем закон сложения скоростей:

……………………………