Выдержка из работы:
Комплексные числа и функции
1. Даны числа z_1=-3+4i,z_2=1-2i. Вычислить
1) 2z_1-3z_2=2(-3+4i)-3(1-2i)=-6+8i-3+6i=-9+14i;
Найдем число в показательной форме
………………………
2. Определить и построить на комплексной плоскости семейства линий, заданных уравнениями
z z ?=C cos?(argz)
Решение
……………………….
3. Решить уравнения
1) shz-chz=2i
Решение
………………………………….
2) z^2+z=2+i;
Решение
…………………….
5. Доказать, что функция v(x,y)=sinx chy+x^2-y^2 может служить мнимой частью аналитической функции f(z)=u+iv, и найти ее
Решение
……………………..
Числовые и функциональные ряды
1. Найти суммы числовых рядов
1) ?_(n=0)^?-(1/2^n -1/3^n )
Решение
…………………………
Решение
……………….
При n=1/2: A(1+3)=4; A=1
4/(4n^2+4n-3)=1/(2n-1)-1/(2n+3)
?_(n=1)^?-4/(4n^2+4n-3)=?_(n=0)^?-(1/(2n-1)-1/(2n+3)) =
=(1/1-1/5)+(1/3-1/7)+(1/5-1/9)+?+(1/(2n-1)-1/(2n+3))+?
S_n=1+1/3-1/(2(n-1)+3)-1/(2n+3)=4/3-1/(2n+1)-1/(2n+3);
S=limT(n>?)??S_n ?=limT(n>?) (4/3-1/(2n+1)-1/(2n+3))=4/3-1/?-1/?=4/3-0=4/3.
3) ?_(n=1)^?-(n+6)/n(n+1)(n+2)
Решение
…………………..
2. Исследовать ряды на сходимость
1) ?_(n=1)^?-?1/?(n+2) sin??1/vn? ?
Решение
………………………………
2) ?_(n=1)^?-?(-1)^n ln^5?(1+4/(n^2+7)) ?
Решение
……………………………………
3) ?_(n=1)^?-(n-1)!/9^(n+2)
Решение
………………………….
4) ?_(n=1)^?-?(-1)^n n^2/(3^n v(n+5))?
Решение
…………………………….
5) ?_(n=1)^?-((n+2)/(3n-1))^(n^2 )
Решение
……………………………..
6) ?_(n=1)^?-?(-1)^n 2^5n e^(-3n) ?
Решение
…………………….
7) ?_(n=1)^?-1/(nv(ln^7?5n ))
Решение
………………………….
8) ?_(n=1)^?-?(-1)^n sin?(2/(n+3))/(n+3)^2 ?
Решение
………………………….
3. Найти интервалы сходимости функциональных рядов
1) ?_(n=1)^?-x^3n/(8^n (n^2+1))
Решение
……………….
2) ?_(n=1)^?-?(-1)^n (x-1)^n/(2^n (n+3) )?
Решение
………………………………….
3) ?_(n=1)^?-1/((4n+3) x^(2n+1) )
Решение
Используем признак Даламбера
limT(n>?)?|u_(n+1):u_n |=limT(n>?) |1/((4(n+1)+3) x^(2(n+1)+1) ):1/((4n+3) x^(2n+1) )|=
=limT(n>?) |((4n+3) x^(2n+1))/((4n+7) x^(2n+3) )|=1/x^2 <1
x<-1; x>1
Исследуем границы интервала
При х=-1
?_(n=1)^?-1/((4n+3) ?(-1)?^(2n+1) )=-?_(n=1)^?-1/(4n+3)~-1/4 ?_(n=1)^?-1/n
- гармонический расходящийся ряд. По признаку сравнения при х=-1 ряд расходится.
При х=1
?_(n=1)^?-1/((4n+3) 1^(2n+1) )=?_(n=1)^?-1/(4n+3)~1/4 ?_(n=1)^?-1/n
- гармонический расходящийся ряд. По признаку сравнения при х=1 ряд расходится.
Область сходимости: (-?;-1)?(1;+?).
4) ?_(n=1)^?-ln^n??2/x?
Решение
……………………………