Содержание:
№ 1
а) A+B (объединение событий A и B) — наступает, если произошло хотя бы одно из событий:
хотя бы одна машина легковая (A);
все машины грузовые (B).
Поскольку эти события охватывают все возможные варианты распределения машин (либо есть хотя бы одна легковая, либо все грузовые), то A+B — достоверное событие.
б) A?B (пересечение событий A и B) — наступает, если одновременно:
есть хотя бы одна легковая машина (A);
все машины грузовые (B).
Эти условия несовместимы, поэтому A?B=? — невозможное событие.
в) A ??B — наступает, если:
ни одна машина не легковая (A ?, т. е. все грузовые);
все машины грузовые (B).
Оба условия эквивалентны событию B. Следовательно, A ??B=B.
г) A?B ? — наступает, если:
есть хотя бы одна легковая машина (A);
не все машины грузовые (B ?, т. е. есть хотя бы одна легковая).
Условие B уже подразумевает наличие хотя бы одной легковой машины, что совпадает с A. Поэтому A?B ?=B ?.
События A и B называются независимыми, если выполняется равенство:
P(A?B)=P(A)?P(B).
Однако, как показано в пункте (б), A?B=?, поэтому P(A?B)=0. Тогда условие независимости принимает вид:
0=P(A)?P(B).
Это равенство выполняется только в том случае, если хотя бы одно из событий имеет нулевую вероятность:
P(A)=0 (невозможно, чтобы хотя бы одна машина была легковой);
или P(B)=0 (невозможно, чтобы все машины были грузовыми).
Таким образом, события A и B будут независимыми только при вырожденных вероятностях (когда одно из событий невозможно). В остальных случаях они зависимы.
№2
Общее число работников: 6 мужчин + 4 женщины = 10 человек.
Необходимо отобрать 7 человек, среди которых должны быть 3 женщины (и, следовательно, 7 ? 3 = 4 мужчины).
Общее число способов выбрать 7 человек из 10:
C_10^7=10!/(7!?(10-7)!)=10!/(7!?3!)=(10?9?8)/(3?2?1)=120.
2. Число способов выбрать 3 женщины из 4:
C_4^3=4!/(3!?(4-3)!)=4!/(3!?1!)=4.
3. Число способов выбрать 4 мужчин из 6:
C_6^4=6!/(4!?(6-4)!)=6!/(4!?2!)=(6?5)/(2?1)=15.
4. Число благоприятных исходов (выбрать 3 женщины и 4 мужчин):
C_4^3?C_6^4=4?15=60.
5. Вероятность события A (среди отобранных — 3 женщины):
P(A)="число благоприятных исходов" /"общее число исходов" =(C_4^3?C_6^4)/(C_10^7 )=60/120=1/2.
Ответ:P(A)=1/2.
№3
Обозначим:
вероятности поступления заявок от четырёх потребителей: p1=0,1, p2=0,2, p3=0,3, p4=0,4;
вероятности непоступления заявок: qi=1-pi.
Тогда:
q1=1-0,1=0,9;
q2=1-0,2=0,8;
q3=1-0,3=0,7;
q4=1-0,4=0,6.
Событие «поступит хотя бы одна заявка» противоположно событию «не поступит ни одной заявки».
Вероятность того, что не поступит ни одной заявки (все четыре события не наступят):
P(ни одной)=q1?q2?q3?q4=0,9?0,8?0,7?0,6=0,3024.
Вероятность того, что поступит хотя бы одна заявка:
P(хотя бы одна)=1-P(ни одной)=1-0,3024=0,6976.
Ответ: 0,6976.
№4
Всего билетов: 25.
Из них:
нечётных номеров: 13 (1, 3, 5, …, 25);
чётных номеров: 12 (2, 4, 6, …, 24).
Требуется найти вероятность последовательности: первые 2 студента — нечётные билеты, следующие 4 студента — чётные билеты.
Вероятность вычисляется как произведение условных вероятностей на каждом шаге:
Первый студент достаёт нечётный билет:
P1=13/25.
Второй студент достаёт нечётный билет (осталось 12 нечётных из 24 билетов):
…………………………………………………..