Выдержка из работы:
ВВЕДЕНИЕ
Комбинаторные задачи занимают значительное место в школьном курсе математики, начиная с элементарных упражнений начальной школы и заканчивая основами теории вероятностей и математической статистики в старших классах. Это позволяет формировать математическую культуру и логическое мышление учащихся с раннего возраста, способствуя развитию аналитических навыков и научного подхода к решению проблем. Однако, обучение комбинаторике сталкивается с определенными трудностями. Учащиеся часто испытывают сложности с выделением и классификацией элементов множеств и выполнением комбинаторных операций. Это актуализирует необходимость совершенствования методологии преподавания комбинаторики для обеспечения успешного освоения школьной программы.
…………………………………
ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ ТЕМЕ "КОМБИНАТОРИКА"
Основные понятия и формулы комбинаторики
Натуральные числа – это те числа, что используются для счёта предметов: N={1,2,3,…,n,…}.
Целые числа – это натуральные числа, им противоположные и число 0: Z={0,±1,±2,±3,…,±n,…}.
Рациональные числа – это целые и дробные числа: Q={m/n,m?Z,n?N}.
Иррациональные числа – это те числа, которые нельзя представить в виде m/n.
Действительные числа – это множество рациональных и иррациональных чисел: R=Q?I, где I – множество иррациональных.
Чётные числа – это целые числа, которые делятся на 2. Их можно представить в виде 2n, где n ?Z.
Нечётные числа – это целые числа, которые не делятся на 2. Их можно представить в виде 2n+1, где n ?Z.
Простые числа – это числа больше 1 и не имеющие других (натуральных) делителей кроме самого себя и 1. В противном случае они называются составными.
Взаимно простые числа – это числа, которые не имеют общих делителей кроме ±1.
Основная задача комбинаторики заключается в том, чтобы вычислить количество вариантов чего-то с определенным свойством нужно установить взаимно-однозначное соответствие между ними и некоторыми математическими объектами и вычислить количество таких объектов.
f:A>B называется взаимно-однозначным соответствием (one-to-one, 1-1), если:
f взаимно однозначно, т.е. ?x,y?A (f(x)=f(y)>x=y) или x?y, то f(x)?f(y);
f является отображением A на B, если f(A)=B или ?y?B ?x?A (f(x)=y)
Множество A называется конечным, если существует n?N и существует взаимно однозначное соответствие между A и N и бесконечным в противном случае.
Количество элементов в конечном множестве обозначается как |A|.
Наличие 1-1 между A и B обозначается как A?B.
Правило суммы: Если A?B=?, то |A?B|=|A|+|B|.
Доказательство.
A={a_1,a_2,…,a_n } и B={b_1,b_2,…,b_n }
A?B={a_1,a_2,…,a_n,b_1,b_2,…,b_n }
Следствие. |A?B|=|A|+|B|-|A?B|.
Декартовым произведением множеств A,B называется A?B={(a,b)|¦(a?A@b?B)}.
Правило умножения: |A?B|=|A|•|B|.
Доказательство.
A={a_1,a_2 } и B={b_1,b_2,b_3 }
¦((a_1,b_1)&(a_1,b_2 )&(a_1,b_3)@(a_2,b_1)&(a_2,b_2)&(a_2,b_3))
Размещение с повторением m элементов n-элементного множества A называется упорядоченная последовательность длины m из элементов A, в которой элементы могут повторяться.
Размещение с повторением – это упорядоченная ?n,k? – выборка с повторениями.
Формула: ?A_n^m=n^m
Пример. Для создания 3-значного пароля используются символы из алфавита {+,*,A,!,2}.
Сколько всего паролей можно составить?
По условию n = 5, k = 3. Рассматриваем размещение 5 символов по 3 позициям без повторений:
A_5^(-3)=5!/(5-3)!=5^3=125
Всего 125 паролей.
Размещение без повторения m элементов n-элементного множества A называется упорядоченная последовательность длины m из элементов A, в которой элементы не повторяются.
Размещениe без повторений – это упорядоченная ?n,k? – выборка без повторений, k ? n.
Формула: A_n^m=n!/(n-m)!
Пример. Для создания 3-значного пароля используются символы из алфавита {+,*,A,!,2}.
…………………………………
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Алимов Ш.А. Алгебра. 7 класс: учебник для общеобразовательных учреждений / Ш.А. Алимов [и др.]. – М.: Просвещение, 2012. – С. 249–272.
2. Баландина И. Стохастическая линия в средней школе: Начнем с анализа./ Издательский дом «Первое сентября». Учебно-методический журнал "Математика. - №14 (676), 2022. – С.147
3. Белокурова Е.Е. Методика обучения младших школьников проведению комбинаторных рассуждений при решении задач: автореф. дис. канд. пед. наук.- Спб, 1993. – 17 с.
4. Бендукидзе А. Треугольник Паскаля / Бендукидзе А. // Квант. – 2020. –№10 – С. 42–47.
5. Блох А.Я. , Гусев В.А. и др.; сост. В.И. Мишин. Методика преподавания математики в средней школе: частная методика / М.: Просвещение, 2020.— 416 с.
6. Блягоз З. У. Задачник по теории вероятностей и математической статистике [Электронный ресурс]: учебное пособие/ З.У. Блягоз. – СПб.: Лань, 2018. – Режим доступа: https://e.lanbook.com/book/103060.
7. Брадис В.М. Методика преподавания математики в средней школе.— М.: Учпедгиз, 2020, - 221 с.
…………………………………