Содержание:
2.3. Задачи для самостоятельного решения 1
1. Какова вероятность того, что число на вырванном наудачу листке календаря на 2022 г.: а) кратно пяти; б) равно 29?
Решение.
А)
1) Найдем количество всевозможных исходов.
Всевозможные исходы состоят в том, что выбирается день 2022 года. Их количество равно 365:
.
2) Найдем количество благоприятных исходов.
Благоприятные исходы это те, в которых число делится на 5:
5, 10, 15, 20, 25, 30 (для всех месяцев кроме февраля)
т. е. количество благоприятных исходов равно:
.
3) Вероятность искомого события равна:
.
Б)
1) Найдем количество всевозможных исходов.
Всевозможные исходы состоят в том, что выбирается день 2022 года. Их количество равно 365:
.
2) Найдем количество благоприятных исходов.
Благоприятные исходы это те, в которых есть число 29. Так как год не високосный – 11 месяцев:
.
3) Вероятность искомого события равна:
.
Ответ: а) 65/365 б) 11/365.
2. Брошены 2 игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна пяти, а их произведение равно четырем.
Решение.
1) Найдем количество всевозможных исходов.
Всевозможные исходы состоят в том, что выпадают две цифры из шести; возможны повторения; порядок следования элементов важен (размещения). Их количество равно:
.
2) Найдем количество благоприятных исходов.
Благоприятные исходы это те, в которых сумма выпавших очков равна 5, а их произведение равно 4:
, ,
т. е. количество благоприятных исходов равно:
.
3) Вероятность искомого события равна:
.
Ответ: 1/6.
3. В первом ящике находятся шары с номерами от 1 до 5, а во втором – с номерами от 6 до 10. Какова вероятность того, что сумма номеров вынутых шаров: а) не меньше 7; б) равна 11; в) не больше 11?
Решение.
А)
1) Найдем количество всевозможных исходов.
Всевозможные исходы состоят в том, что выпадают две цифры из пяти; возможны повторения; порядок следования элементов важен (размещения). Их количество равно:
.
2) Найдем количество благоприятных исходов.
Благоприятные исходы это те, в которых сумма номеров не меньше 7, это все исходы так как минимальное 1 из первой группы и минимальное 6 из второй
.
3) Вероятность искомого события равна:
.
Б)
1) Найдем количество всевозможных исходов.
Всевозможные исходы состоят в том, что выпадают две цифры из пяти; возможны повторения; порядок следования элементов важен (размещения). Их количество равно:
.
2) Найдем количество благоприятных исходов.
Благоприятные исходы это те, в которых сумма номеров равна 11, это все исходы из набора
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11
7 8 9 10 11 12
8 9 10 11 12 13
9 10 11 12 13 14
10 11 12 13 14 15
.
3) Вероятность искомого события равна:
.
В)
1) Найдем количество всевозможных исходов.
Всевозможные исходы состоят в том, что выпадают две цифры из пяти; возможны повторения; порядок следования элементов важен (размещения). Их количество равно:
.
…………
4.3. Задачи для самостоятельного решения 3
1. В торговую фирму поставляются товары одного наименования тремя фирмами в соотношении 5:2:3. Товары, поступающие от этих фирм, не требуют ремонта в течение гарантийного срока соответственно в 96 %, 92 % и 94 % случаев. Найти вероятность того, что купленный наудачу товар не потребует ремонта в течение гарантийного срока.
Решение
Определим вероятности событий Н, Н2 и Н3 приобретение товара соответственно у первой, второй и третьей фирм. Примем общий объем закупаемого товара равным 5 + 2 + 3 = 10. Тогда для искомых вероятностей получим:
.
Обозначим событие А, состоящее в том, что товар не будет требовать ремонта.
В соответствии с условием товар, приобретенный торговой организацией у первой фирмы, не требует ремонта с вероятностью Р(А/Н1) = 0,96. Вероятность Р{А/Н) является условной вероятностью качественного товара при условии, что он поставлен первой фирмой.
Аналогичные условные вероятности для товара, поставленного второй и третьей фирмами, будут равны Р(А/Н2) = 0,92; Р(А/Н3) = 0,94.
Вероятность приобретения покупателем в торговой организации не требующего ремонта товара Р(А) определяется формулой полной вероятности:
.
Ответ 0,946
2. Имеется 12 урн, из них в 6 урнах по 3 белых и 4 черных шара (I состав), в 4 урнах по 2 белых и 8 черных шаров (II состав), в 2 урнах по 5 белых и 3 черных шара (III состав). Из наугад выбранной урны взят шар. Найти вероятность, что этот шар белый.
Решение
Определим вероятности событий Н, Н2 и Н3 выбора определенного типа урны. Тогда для искомых вероятностей получим:
.
Обозначим событие А, состоящее в том, что выбранный шар белый.
В соответствии с условием шар белый из первого типа урн Р(А/Н1) = 3/7. Вероятность Р{А/Н) является условной вероятностью качественного товара при условии, что он поставлен первой фирмой.
Аналогичные условные вероятности для товара, поставленного второй и третьей фирмами, будут равны Р(А/Н2) = 2/10; Р(А/Н3) = 5/8.
Вероятность приобретения покупателем в торговой организации не требующего ремонта товара Р(А) определяется формулой полной вероятности:
.
Ответ 0,385
3. Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из трех групп направлений обучения «Экономика», «Менеджмент», «Документоведение» соответственно 6, 5 и 4 студентов. Вероятности того, что студент группы направлений Э, М и ДОУ попадает в сборную университета, соответственно равны 0,8; 0,7 и 0,9. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. Какова вероятность того, что студент, уже попавший в сборную университета, обучается в группе «Экономика»?
Решение
Введем в рассмотрение
событие А – "студент в итоге соревнования попал в сборную.""
гипотезу H1 – ""студент из группы «Экономика»
гипотезу H2 – ""студент из группы «Менеджмент»
гипотезу H3 – ""студент из группы «Документоведение»"
Всего студентов 4+6+5=15
По условию p(H1)=4/15 p(H2)=6/15 p(H3)=5/15
p(A/H1)=0,8
p(A/H2)=0,7
p(A/H3)=0,9
По формуле полной вероятности
p(A)=p(H1)·p(A/H1) + p(H2)·p(A/H2) +
+p(H3)·p(A/H3)=
=(4/15)·0,8+(6/15)·0,7+(5/15)·0,9=
=(3,6+4,2+4)/15=11,8/15=119/150
По формуле Байеса
p(H1/A)=p(H1)·p(A/H1) /p(A)=
=(4/15)·0,8/(119/150)=32/119
Ответ 32/119
4. На сборку попадают детали с трех станков. Известно, что на первом станке бракованных деталей производится 0,25%, на втором – 0,4%, на третьем – 0,6%. На сборку попадают с первого станка 2000 деталей, со второго – 1500, с третьего – 1300. Наугад взятая деталь со сборки при проверке оказалась бездефектной. Найти вероятность того, что эта деталь изготовлена на втором станке.
Решение
Определим вероятности событий Н, Н2 и Н3 изготовления деталей соответственно на первом, втором и третьем станке. Примем общий объем изготовленных деталей 2000 + 1500 + 1300 = 4800. Тогда для искомых вероятностей получим:
.
Обозначим событие А, состоящее в том, что деталь бездефектна.
В соответствии с условием деталь с первого станка бездефектена с вероятностью Р(А/Н1) = 1-0,0025=0,9975.
Аналогичные условные вероятности для второго и третьего станков Р(А/Н2) = 1-0,0040=0,996,92; Р(А/Н3) =1-0,006=0,994.
Вероятность выбора бездефектной детали Р(А) определяется формулой полной вероятности:
.
По формуле Байеса
p(H1/A)=p(H1)·p(A/H1) /p(A)=
=(10/24)·0,9975/0,9961=0,417
Ответ 0,417
5. В большой рекламной фирме 21 % работников получают высокую заработную плату. Известно также, что 40 % работников фирмы – женщины, а 6,4 % работников – женщины, получающие высокую заработную плату. Можем ли мы утверждать, что на фирме существует дискриминация женщин в оплате труда?
…………………………..